题目内容
(2009•宁波模拟)已知f(x)是R上的单调函数,?x
1,x
2∈R,?x
0∈R,总有f(x
0x
1+x
0x
2)=f(x
0)+f(x
1)+f(x
2)恒成立.
(Ⅰ)求x
0的值;
(Ⅱ)若f(x
0)=1,且?
n∈N
+,有a
n=
,b
n=f(
)+1,记S
n=
n |
 |
i=1 |
aiai+1,T
n=
n |
 |
i=1 |
bibi+1,
,比较
S
n与T
n的大小并给出证明;
(Ⅲ)若不等式a
n+1+a
n+2+…+a
2n>
[log(2x+1)-log(8x2-2)+1]对?n≥2都成立,求x的取值范围.
分析:(Ⅰ)令x
1=x
2=0,得f(0)=f(x
0)+2f(0),故f(x
0)=-f(0);令x
1=1,x
2=0,得f(x
0)=f(x
0)+f(1)+f(0),故f(1)=-f(0).所以f(x
0)=f(1),f(x)是R上的单调函数,由此能求出x
0的值.
(Ⅱ)由f(x
1+x
2)=f(1)+f(x
1)+f(x
2)=1+f(x
1)+f(x
2),知f(n+1)=1+f(n)+f(1)=f(n)+2,n∈N
*,所以f(n)=2n-1.
an=,
bn=f()+1=.由此能比较
S
n与T
n的大小并给出证明.
(Ⅲ)令F(n)=a
n+1+a
n+1+…+a
2n,则F(n+1)-F(n)=a
2n+1+a
2n+2-a
n+1=
>0.当n≥2时,
F(n)>F(n-1)>…>F(2)=故
1+log(8x2-2)>log(2x+1),由此能x的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)令x
1=x
2=0,得f(0)=f(x
0)+2f(0),
∴f(x
0)=-f(0),①
令x
1=1,x
2=0,得f(x
0)=f(x
0)+f(1)+f(0),
∴f(1)=-f(0),②
由①、②知,f(x
0)=f(1),又f(x)是R上的单调函数,
∴x
0=1. …(4分)
(Ⅱ)∵f(x
1+x
2)=f(1)+f(x
1)+f(x
2)=1+f(x
1)+f(x
2),
∴f(n+1)=1+f(n)+f(1)=f(n)+2,n∈N
*,
即数列{f(n)}是以2为公差1为首项的等差数列,
∴f(n)=2n-1.
∴
an=,
bn=f()+1=.
S
n=a
1a
2+a
2a
3+…+a
na
n+1=
++…+=
[(1-)+(-)+…+(-)]=
(1-).
∴
Sn=(1-),
T
n=
n |
 |
i=1 |
bibi+1=
()0()1+()1()2+…+()n-1()n=
+()3+…+()2n-1=
=
[1-()n].
∵4
n=(1+3)
n=C
n0+C
n1•3
1+C
n2•3
2+…+C
nn•3
n>3n+1>2n+1,
∴
Sn<Tn.…(10分)
(Ⅲ)令F(n)=a
n+1+a
n+1+…+a
2n,
则F(n+1)-F(n)=a
2n+1+a
2n+2-a
n+1=
+-=
>0,
∴当n≥2时,
F(n)>F(n-1)>…>F(2)=.…(12分)
an+1+an+2+…+a2n>[log(2x+1)-log(8x2-2)+1]对?n≥2都成立,
∴
>[log(2x+1)-log(8x2-2)+1],
∴
1+log(8x2-2)>log(2x+1),
∴
| 8x2-2>0 | 2x+1>0 | (8x2-2)<2x+1 |
| |
,即
,
∴
<x<1.…(15分)
点评:本题首先考查数列的基本量、通项,结合含两个变量的不等式的处理问题,考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.
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