题目内容

(2009•宁波模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且?x1,x2∈R,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1恒成立.
(Ⅰ)求证:f(x)+1是奇函数;
(Ⅱ)对?n∈N*,有an=
1
f(n)
bn=f(
1
2n+1
)+1
,求:Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1Tn=
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an

(Ⅲ)求F(n)=an+1+an+2+…+a2n(n≥2,n∈N)的最小值.
分析:(1)要证函数f(x)+1是奇函数,即证明f(-x)+1=-[f(x)+1].令x1=x2=0得f(0)=-1,再令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1,移向整理即可.
(2)令x1=n,x2=1得f(n+1)=f(n)+2,所以f(n)=2n-1,an=
1
2n-1
bn=2×
1
2n+1
-1+1=
1
2n

得出anan+1=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,裂项后求出Sn,又
bn
an
=(2n-1)
1
2n
,利用错位相消法求出Tn
(3))由F(n+1)-F(n)=a2n+1+a2n+2-an+1=
1
(4n+1)(4n+3)(2n+1)
>0
,判断得出F(n)随的增大而增大,F(2)为所求的最小值.
解答:解:(1)证明:f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,
令x1=x2=0得f(0)=-1,再令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1
∴f(-x)+1=-[f(x)+1],
函数f(x)+1是奇函数.
(2)令x1=n,x2=1得f(n+1)=f(n)+2,所以f(n)=2n-1,an=
1
2n-1
bn=2×
1
2n+1
-1+1=
1
2n

anan+1=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

Sn=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1

bn
an
=(2n-1)
1
2n

Tn=1×
1
2
+3×
1
22
+…+(2n-1)
1
2n

1
2
Tn=1×
1
22
+3×
1
23
+…+(2n-1)
1
2n+1

由①-②得出
1
2
Tn=
1
2
+(
1
2
+
1
22
+… +
1
2n-1
)-(2n-1)
1
2n+1

=
1
2
+(1-
1
2n-1
)-(2n-1)
1
2n+1

计算整理得出得
Tn=3-
2n+3
2n

(3)∵F(n+1)-F(n)=a2n+1+a2n+2-an+1=
1
(4n+1)(4n+3)(2n+1)
>0

∴F(n+1)>F(n).又n≥2,
∴F(n)的最小值为F(2)=a3+a4=
12
35
点评:本题考查数列通项公式求解,数列求和中的裂项法、错位相消法.考查构造、变形、计算、推理论证能力.
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