Question

将函数y=f（x）的图象向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的

π

3

倍，然后再向上平移1个单位，得到函数y=

3

sinx的图象．
（1）求y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最小值和最大值．

Answer 1

（1）函数y=

3

sinx的图象向下平移1个单位得y=

3

sinx-1，再横坐标缩短到原来的

3

π

倍得y=

3

sin

π

3

x-1，然后向右移1个单位得y=

3

sin(

π

3

x-

π

3

)-1所以函数y=f（x）的最小正周期为T=

2π

π 3

=6由2kπ-

π

2

≤

π

3

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

⇒6k-

1

2

≤x≤6k+

5

2

，k∈Z，
函数y=f（x）的递增区间是[6k-

1

2

，6k+

5

2

]，k∈Z．
（2）因为函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称
∴当x∈[0，1]时，y=g（x）的最值即为x∈[3，4]时，y=f（x）的最值．
∵x∈[3，4]时，

π

3

x-

π

3

∈[

2π

3

，π]，
∴sin（

π

3

x-

π

3

）∈[0，

3

2

]
∴f（x）∈[-1，

1

2

]．
∴y=g（x）的最小值是-1，最大值为

1

2

．