题目内容
【题目】已知
与
为互不相等的20个实数.若方程
有有限多个解，则此方程最多有______个解.
【答案】9
【解析】
令
于是，由题意知
.
设
为集合
中的所有元素按递增顺序的排列，且在
这21个区间的每一个中，函数
均为线性的.
注意到，在区间
中，
，而在区间
中，
.
因为方程根的个数有限，所以，
.
沿着数轴自左向右移动.开始时，中的x的系数为0.每当越过一个
时，中均有一个绝对值的去掉方式发生变化，使得x的系数变化
（增大2或减小2）.这表明，x的系数恒为偶数，并且不会在变为0以前改变符号.由此，知该系数在任何两个相邻的区间中均要么同为非负，要么同为非正.从而，在这样的区间并集上要么同为非升，要么同为非降.如此一来，若只有有限个根，则其在区间
中均分别有不多于1个根.此外，由于
与
的符号不同，而在每个根处均发生变号，于是，有奇数个根.从而，最多有九个根.
另一方面，不难验证，若
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则方程恰有九个根.
故答案为：9
【题目】在测试中，客观题难度的计算公式为
，其中
为第
题的难度，
为答对该题的人数，
为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前预估难度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测答对人数 | |||||
实测难度 |
（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；
（3）定义统计量
，其中
为第题的实测难度，为第题的预估难度（）.规定：若
，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.
