题目内容
若存在实常数和
,使得函数
和
对其定义域上的任意实数
分别满足:
和
,则称直线
为
和
的“隔离直线”.已知
,
为自然对数的底数).
(1)求的极值;
(2)函数和
是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.
(1)当时,
取极小值,其极小值为
(2)函数
和
存在唯一的隔离直线
解析试题分析:(1) ,
.
当时,
.
当
时,
,此时函数
递减;
当时,
,此时函数
递增;
∴当时,
取极小值,其极小值为
. …………………………………6分
(2)解法一:由(1)可知函数和
的图象在
处有公共点,因此若存在
和
的隔离直线,则该直线过这个公共点.
设隔离直线的斜率为,则直线方程为
,即
.
由,可得
当
时恒成立.
,
由
,得
.
下面证明当
时恒成立.
令,则
,
当时,
.
当
时,
,此时函数
递增;
当时,
,此时函数
递减;
∴当时,
取极大值,其极大值为
.
从而,即
恒成立.
∴函数和
存在唯一的隔离直线
.……………12分
解法二: 由(1)可知当时,
(当且仅当
时取等号) .
若存在和
的隔离直线,则存在实常数
和
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