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精英家教网如图,三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,SA=SC=2
3
SB=2
5
,M、N分别为AB、SB的中点.
(1)求证:平面SAC⊥平面ABC;
(2)求二面角N-CM-B的一个三角函数值;
(3)求点B到平面CMN的距离.
分析:(1)取AC中点O,由勾股定理可得SO⊥BO,根据等腰三角形的性质可得SO⊥AC,从而得到SO⊥平面ABC,平面SAC⊥平面ABC.
(2)如图所示建立空间直角坐标系O-xyz,求得平面CMN的一个法向量
n
,平面ABC的一个法向量
OS
,可得
cos?
n
OS
=
n
OS
|
n
|•|
OS
|
的值,即为所求.
(3)根据点B到平面CMN的距离即为
MB
n
上射影的绝对值d=
|
n
MB
|
|
n
|
,求得结果.
解答:精英家教网解:(1)取AC中点O,连接SO,OB,则SO⊥AC,BO⊥AC,
SO=2
2
BO=2
3

∵SO2+BO2=20,SB2=20,∴SO2+BO2=SB2,∴SO⊥BO,
又SO⊥AC,∴SO⊥平面ABC,
∵SO?平面SAC,∴平面SAC⊥平面ABC.
(2)如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.
则A(2,0,0),B(0,2
3
,0)
,C(-2,0,0),S(0,0,2
2
)
M(1,
3
,0)
N(0,
3
2
)
(6分)
CM
=(3,
3
,0),
MN
=(-1,0,
2
).
n
=(x,y,z)
为平面CMN的一个法向量,则
CM
n
=3x+
3
y=0
MN
n
=-x+
2
z=0

z=1,x=
2
,y=-
6
,∴
n
=(
2
,-
6
,1),
OS
=(0,0,2
2
 )为平面ABC的一个法向量,
cos?
n
OS
=
n
OS
|
n
|•|
OS
|
=
1
3

由图知
OS
n
的夹角即为二面角N-CM-B的大小,其余弦值为
1
3

(3)由(2)得
MB
=(-1,
3
,0),
n
=(
2
,-
6
,1)为平面CMN的一个法向量,
∴点B到平面CMN的距离即为
MB
n
上射影的绝对值d=
|
n
MB
|
|
n
|
=
4
2
3
点评:本题考查证明面面垂直的方法,求二面角的大小,点到平面的距离,求平面的法向量的坐标是解题的关键和易错点.
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