题目内容
如图,三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,SA=SC=23 |
5 |
(1)求证:平面SAC⊥平面ABC;
(2)求二面角N-CM-B的一个三角函数值;
(3)求点B到平面CMN的距离.
分析:(1)取AC中点O,由勾股定理可得SO⊥BO,根据等腰三角形的性质可得SO⊥AC,从而得到SO⊥平面ABC,平面SAC⊥平面ABC.
(2)如图所示建立空间直角坐标系O-xyz,求得平面CMN的一个法向量
,平面ABC的一个法向量
,可得
cos?
•
>=
的值,即为所求.
(3)根据点B到平面CMN的距离即为
在
上射影的绝对值d=
,求得结果.
(2)如图所示建立空间直角坐标系O-xyz,求得平面CMN的一个法向量
n |
OS |
cos?
n |
OS |
| ||||
|
|
(3)根据点B到平面CMN的距离即为
MB |
n |
|
| ||||
|
|
解答:解:(1)取AC中点O,连接SO,OB,则SO⊥AC,BO⊥AC,
SO=2
,BO=2
,
∵SO2+BO2=20,SB2=20,∴SO2+BO2=SB2,∴SO⊥BO,
又SO⊥AC,∴SO⊥平面ABC,
∵SO?平面SAC,∴平面SAC⊥平面ABC.
(2)如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.
则A(2,0,0),B(0,2
,0),C(-2,0,0),S(0,0,2
),M(1,
,0),N(0,
,
)(6分)
∵
=(3,
,0),
=(-1,0,
).
设
=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则
•
=3x+
y=0,
•
=-x+
z=0,
取z=1,x=
,y=-
,∴
=(
,-
,1),
又
=(0,0,2
)为平面ABC的一个法向量,
∴cos?
•
>=
=
.
由图知
与
的夹角即为二面角N-CM-B的大小,其余弦值为
.
(3)由(2)得
=(-1,
,0),
=(
,-
,1)为平面CMN的一个法向量,
∴点B到平面CMN的距离即为
在
上射影的绝对值d=
=
.
SO=2
2 |
3 |
∵SO2+BO2=20,SB2=20,∴SO2+BO2=SB2,∴SO⊥BO,
又SO⊥AC,∴SO⊥平面ABC,
∵SO?平面SAC,∴平面SAC⊥平面ABC.
(2)如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.
则A(2,0,0),B(0,2
3 |
2 |
3 |
3 |
2 |
∵
CM |
3 |
MN |
2 |
设
n |
CM |
n |
3 |
MN |
n |
2 |
取z=1,x=
2 |
6 |
n |
2 |
6 |
又
OS |
2 |
∴cos?
n |
OS |
| ||||
|
|
1 |
3 |
由图知
OS |
n |
1 |
3 |
(3)由(2)得
MB |
3 |
n |
2 |
6 |
∴点B到平面CMN的距离即为
MB |
n |
|
| ||||
|
|
4
| ||
3 |
点评:本题考查证明面面垂直的方法,求二面角的大小,点到平面的距离,求平面的法向量的坐标是解题的关键和易错点.
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