题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g(x)=| bx-1 | a2x+2b |
（1）若f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不等的实根x1，x2（x1＜x2），则
①试判断函数f（x）在区间（-1，1）上是否具有单调性，并说明理由；
②若方程f（x）=0的两实根为x3，x4（x3＜x4），求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．
分析：（1）f（x）为偶函数，又为二次函数故b=0，a≠0，故可得出g（x）=
用定义可判断出其为奇函数；
（2）①由g(x)=
=x得有不等实根，整理后得一二次方程，故可得△＞0，其为一关于a，b的关系式，从中整理 得出对称轴的范围，知其不在区间（-1，1）上，故可证得函数在区间（-1，1）上具有单调性．
②方程f（x）=0为一二次函数其两实根为x3，x4（x3＜x4），若x3＜x1＜x2＜x4成立，即x1，x2在两根之间，可由根的分布的相关知识将这一关系转化为不等式，解出a的范围．
| -1 |
| a2x |
（2）①由g(x)=
| bx-1 |
| a2x+2b |
②方程f（x）=0为一二次函数其两实根为x3，x4（x3＜x4），若x3＜x1＜x2＜x4成立，即x1，x2在两根之间，可由根的分布的相关知识将这一关系转化为不等式，解出a的范围．
解答：解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴bx=0，∴b=0
∴g(x)=-
，∴函数g（x）为奇函数；（4分）
（2）①由g(x)=
=x得方程a2x2+bx+1=0（*）有不等实根
∴△=b2-4a2＞0及a≠0得|
|＞1即-
＜-1或-
＞1（7分）
又f（x）的对称轴x=-
∉(-1，1)
故f（x）在（-1，1）上是单调函数（10分）
②x1，x2是方程（*）的根，∴a2x12+bx1+1=0
∴bx1=-a2x12-1，同理bx2=-a2x22-1
∴f（x1）=ax12+bx1+1=ax12-a2x12=（a-a2）x12
同理f（x2）=（a-a2）x22
要使x3＜x1＜x2＜x4，只需
即
，∴a＞1
或
即
，解集为φ
故a的取值范围a＞1（16分）
∴g(x)=-
| 1 |
| a2x |
（2）①由g(x)=
| bx-1 |
| a2x+2b |
∴△=b2-4a2＞0及a≠0得|
| b |
| 2a |
| b |
| 2a |
| b |
| 2a |
又f（x）的对称轴x=-
| b |
| 2a |
故f（x）在（-1，1）上是单调函数（10分）
②x1，x2是方程（*）的根，∴a2x12+bx1+1=0
∴bx1=-a2x12-1，同理bx2=-a2x22-1
∴f（x1）=ax12+bx1+1=ax12-a2x12=（a-a2）x12
同理f（x2）=（a-a2）x22
要使x3＜x1＜x2＜x4，只需
|
|
或
|
|
故a的取值范围a＞1（16分）
点评：本题考查二次函数的性质，对其奇偶性怀单调性，图象的特征都有涉及，是一道关于二次函数的综合性很强的题目．
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