题目内容

已知椭圆,F1、F2分别为椭圆c的左右焦点,点P在椭圆C上(不是顶点),△PF1F2内一点G满足,其中
(I)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)若椭圆C短轴长为2,过焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点),若,求△F1AB面积.
【答案】分析:(I)先确定G是△PF1F2的重心,坐标为,从而可得P的坐标,利用点P在椭圆C上,即可求得椭圆C的离心率;
(Ⅱ)求出椭圆方程为,设直线AB的方程为x=my+1,与,利用韦达定理及向量条件,可求得,进而利用,S=,即可求得△F1AB面积.
解答:解:(I)由,可得G的坐标为

∴G是△PF1F2的重心
令P的坐标是(x,y),则有,∴
∵点P在椭圆C上,∴
∴3a2=4b2,即4c2=a2,∴e=
(Ⅱ)∵椭圆C短轴长为2,3a2=4b2
∴a=2,b=,c=1
∴椭圆方程为
设A(x1,y1),B(x2,y2),
,∴y1=-2y2
设直线AB的方程为x=my+1,与联立,消元整理可得(3m2+4)y2+6my-9=0
②,
由①②③,可得

=
∴△F1AB面积S==
点评:本题考查椭圆的几何性质,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形的面积,属于中档题.
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