题目内容
已知椭圆


(I)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)若椭圆C短轴长为2


【答案】分析:(I)先确定G是△PF1F2的重心,坐标为
,从而可得P的坐标,利用点P在椭圆C上,即可求得椭圆C的离心率;
(Ⅱ)求出椭圆方程为
,设直线AB的方程为x=my+1,与
,利用韦达定理及向量条件,可求得
,进而利用
,S=
,即可求得△F1AB面积.
解答:解:(I)由
,可得G的坐标为
∵
,
∴G是△PF1F2的重心
令P的坐标是(x,y),则有
,∴
∵点P在椭圆C上,∴
∴3a2=4b2,即4c2=a2,∴e=
;
(Ⅱ)∵椭圆C短轴长为2
,3a2=4b2
∴a=2,b=
,c=1
∴椭圆方程为
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵
,∴y1=-2y2①
设直线AB的方程为x=my+1,与
联立,消元整理可得(3m2+4)y2+6my-9=0
∴
②,
③
由①②③,可得
∴
∴
=
∴△F1AB面积S=
=
点评:本题考查椭圆的几何性质,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形的面积,属于中档题.

(Ⅱ)求出椭圆方程为





解答:解:(I)由


∵

∴G是△PF1F2的重心
令P的坐标是(x,y),则有


∵点P在椭圆C上,∴

∴3a2=4b2,即4c2=a2,∴e=

(Ⅱ)∵椭圆C短轴长为2

∴a=2,b=

∴椭圆方程为

设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵

设直线AB的方程为x=my+1,与

∴


由①②③,可得

∴

∴


∴△F1AB面积S=


点评:本题考查椭圆的几何性质,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形的面积,属于中档题.

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