Question

【题目】如图，所有棱长都相等的直四棱柱 中，中点为.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）连交于点，连，知与交于中点证明四边形为平行四边形，由此得到，即可证明结论成立；（2）建立如图所示空间直角坐标系，求出面和面的法向量即可得出结论.

试题解析：（1）连交于点，由四边相等知为中点，连，则由四边相等知与交于中点.又在棱柱中， .四边形为平行四边形， ， ,连，则四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面.

（2）设中点为， 四边长都为， ， 四棱柱是直四棱柱， 可建立如图所示空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量为，则， ，取，则，同样可求平面的一个法向量， ， 二面角的余弦值为.