题目内容
设函数f(x)=sin(2π+ϕ)(-π<ϕ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线
(Ⅰ)求ϕ;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间;
(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.
【答案】分析:(Ⅰ)y=f(x)图象的一条对称轴是直线
.就是
时函数取得最值,结合ϕ的范围,求出ϕ的值;
(Ⅱ)利用正弦函数的单调增区间,直接求函数y=f(x)的单调增区间;
(Ⅲ)利用导数求出导函数的值域,从而证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.
解答:解:(Ⅰ)∵x=
是函数y=f(x)的图象的对称轴,
∴
,∴
,k∈Z.
∵-π<ϕ<0,ϕ=-
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知ϕ=-
,因此
.
由题意得2kπ-
,k∈Z.
所以函数
的单调增区间为
.
(Ⅲ)证明:∵|y'|=
=
,
所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为[-2,2],
而直线5x-2y+c=0的斜率为
>2,
所以直线5x-2y+c=0与函数
的图象不相切.
点评:本小题主要考查三角函数性质及图象的基本知识,考查推理和运算能力.是综合题,常考题型.


(Ⅱ)利用正弦函数的单调增区间,直接求函数y=f(x)的单调增区间;
(Ⅲ)利用导数求出导函数的值域,从而证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.
解答:解:(Ⅰ)∵x=

∴


∵-π<ϕ<0,ϕ=-

(Ⅱ)由(Ⅰ)知ϕ=-


由题意得2kπ-

所以函数


(Ⅲ)证明:∵|y'|=


所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为[-2,2],
而直线5x-2y+c=0的斜率为

所以直线5x-2y+c=0与函数

点评:本小题主要考查三角函数性质及图象的基本知识,考查推理和运算能力.是综合题,常考题型.

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