Question

设函数f（x）的定义域关于原点对称，对定义域内任意的x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，且满足：
（1）f(x1-x2)=

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)•f(x2)

；
（2）当0＜x＜4时，f（x）＞0
请回答你列问题：
（1）判断函数的奇偶性并给出理由；
（2）判断f（x）在（0，4）上的单调性并给出理由．

Answer 1

（1）函数f（x）在定义域内是奇函数．
因为在定义域内，对任意x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，且满足：f(x1-x2)=

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)•f(x2)

；
由于函数f（x）的定义域关于原点对称，-x必与x同时在定义域内，
同样存在x₁和x₂，使-x=x₂-x₁，且满足：f(-x)=f(x2-x1)=

f(x2)-f(x1)

1+f(x2)•f(x1)

，即f（x）=-f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）在定义域内是奇函数．
（2）函数f（x）在（0，l）上是单调递增函数．
任意取x₁，x₂∈（0，l），且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵函数f（x）在定义域内是奇函数，且当0＜x＜l时，f（x）＞0，
∴f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＜0，
又∵f(x1-x2)=

f(x1)-f(x2)

1+f(x1)•f(x2)

，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（0，l）上是单调递增函数．