Question

5．下列命题：
①求函数y=sin（$\frac{π}{4}$-2x）的单调递减区间[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）；
②终边在坐标轴上的角的集合是{a|a=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}；
③若log_m3＜log_n3＜0，则0＜m＜n＜1；
④函数f（x）=2sinx-1-a上有两个零点，则实数a的取值范围是[$\sqrt{3}$-1，1]．
则所有错误命题的序号是③．

Answer 1

分析 直接求出函数的单调减区间判断①；写出终边在坐标轴上的角的集合判断②；由对数式的基本性质判断③；由三角函数的单调性结合函数的零点判定判断④．

解答 解：①∵y=sin（$\frac{π}{4}$-2x）=-sin（2x-$\frac{π}{4}$），由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得：$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+2kπ，k∈Z$．
∴函数y=sin（$\frac{π}{4}$-2x）的单调递减区间[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z），①正确；
②终边在x轴上的角的集合为{a|a=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{a|a=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z}，
∴坐标轴上的角的集合是{a|a=kπ，k∈Z}∪{a|a=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z}={a|a=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}，②正确；
③若log_m3＜log_n3＜0，则0＜n＜m＜1，③错误；
④∵当x$∈[\frac{π}{3}，π]$时，t=sinx在区间[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，
在区间[$\frac{π}{2}$，π]上为减函数，且sin$\frac{π}{3}$=sin$\frac{2π}{3}$
∴当x∈$[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$且x≠$\frac{π}{2}$时，存在两个自变量x对应同一个sinx
即当t∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]时，方程t=sinx有两个零点
∵f（x）=2sinx-1-a在[$\frac{π}{3}，π$]上有两个零点，即$\frac{1+a}{2}$=sinx在$[\frac{π}{3}，π]$上有两个零点，
∴$\frac{1+a}{2}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，解之得a∈[$\sqrt{3}$-1，1]，④正确．
∴错误命题的序号是③．
故答案为：③．

点评 本题给出三角函数式，求满足函数在指定区间上有两个零点的参数a的取值范围．着重考查了三角函数的单调性与函数的图象与性质等知识，属于中档题．