Question

已知等比数列{a_n}中，a₄-a₂=a₂+a₃=24．记数列{a_n}的前n项和为S_n
（I） 求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．求：的值．

Answer 1

解：（I）设等比数列的首项为a₁，公比为q，因为a₄-a₂=a₂+a₃=24．
所以a₁q³-a₁q=a₁q+a₁q²=24，解得q=2或q=-1
若q=-1，则a₁q³-a₁q=0，所以q=-1（舍去），
∴q=2，a₁=4，
数列{a_n}是等比数列，首项为4，公比为2，它的通项公式为：4×2 ^n-1=2ⁿ⁺¹．
（II） 求数列{a_n}的前n项和为：，
数列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．
所以b_n+1+b_n+2T_n-1=2T_n-1+1+2b_n，所以b_n+1-b_n=1，
所以数列{b_n}是等差数列，首项为1，公差为1，所以b_n=n，
==2•2ⁿ-2+2ⁿ=2ⁿ-2．
分析：（I） 设出等比数列的首项与公比，通过关系式求出首项与公比，即可求数列{a_n}的通项公式；
（II）利用（I）求出前n项和，通过数列{b_n}中，数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．推出数列的第n项与第n+1的关系，说明数列是等差数列，求出通项公式，即可求的值．
点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，判断数列是否是等比数列、等差数列，利用通项公式、前n项和求解，考查计算能力．