Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R，a＞0）其中，f（0）=3，f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）若f′（-1）=f′（3）=-36，f′（5）=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若c=-6，函数f（x）的两个极值点为x₁，x₂满足-1＜x₁＜1＜x₂＜2．设λ=a²+b²-6a+2b+10，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于f（0）=3，则d=3，求出导数后分别代入-1，3，5，得到三个关系式，解出a，b，c，即可得到函数f（x）的解析式；
（2）根据题意知f（x）=ax³+bx²-6x+3，由于函数f（x）的两个极值点为x₁，x₂满足-1＜x₁＜1＜x₂＜2．则得到a与b满足不等式组

f′(-1)＞0   f′(1)＜0   f′(2)＞0   a＞0

即得到点（a，b）的可行区域，又由于λ=a²+b²-6a+2b+10=（a-3）²+（b+1）²，依据其几何意义，即可求出λ的取值范围．

解答：（Ⅰ）由于f（0）=3，则d=3，
而f'（x）=3ax²+2bx+c…（1分）
由f′（-1）=f′（3）=-36，f′（5）=0知

3a-2b+c=-36   27a+6b+c=-36   75a+10b+c=0

　　…．（2分）
解得

a=1   b=-3   c=-45

　…（4分）
故f（x）=x³-3x²-45x+3即为所求．…（5分）
（Ⅱ） 据题意，函数f（x）=ax³+bx²-6x+3，则f′（x）=3ax²+2bx-6
又x₁，x₂是方程f^′（x）=0的两根，且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，a＞0．
则

f′(-1)＞0   f′(1)＜0   f′(2)＞0   a＞0

  即

3a-2b-6＞0   3a+2b-6＜0   6a+2b-3＞0   a＞0

  …（7分）
则点（a，b）的可行区域如图…（10分）
由于λ=a²+b²-6a+2b+10=（a-3）²+（b+1）²，
则λ的几何意义为点P（a，b）与点A（3，-1）的距离的平方．…．…．（11分）
观察图形知点，A到直线3a+2b-6=0的距离的平方d²为λ的最小值　　
而d2=

(3×3-2×1-6)2

32+22

=

1

13

故λ的取值范围是(

1

13

，+∞)…..（13分）．

点评：此题考查导数的概念及应用以及线性规划的问题，是一道中档题．