题目内容
设f(x)=a ln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.
(1)a=-1.
(2)f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.
(2)f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值.
试题分析:解:(1)因f(x)=a ln x++x+1,
故. (2分)
由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f′(1)=0,从而a-+=0,解得a=-1. (4分)
(2)由(1)知f(x)=-ln x++x+1 (x>0),
令f′(x)=0,解得x1=1,x2=- (因x2=-不在定义域内,舍去).(6分)
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数.
故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3,无极大值. (10分)
点评:运用导数的符号判定函数的单调性,求解极值,属于基础题。
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