题目内容
已知四棱锥P-ABCD的直观图（如图1）及左视图（如图2），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求异面直线PD与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．
分析：（Ⅰ）取AB的中点O连接PO，证明AD垂直平面PAB内的两条相交直线PO，AB，即可证明AD⊥PB；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出
，
=(0，2，0)利用cos＜
，
＞=
=-
，求异面直线PD与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）平面PABD 法向量
=（1，0，0）设平面PCD的法向量
=（x，y，z），通过cos＜
，
＞=
，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出
| PD |
| AB |
| PD |
| AB |
| ||||
|
|
| 1 |
| 3 |
（Ⅲ）平面PABD 法向量
| n |
| m |
| n |
| m |
| ||||
|
|
解答：解：（Ⅰ）取AB的中点O连接PO，则PO⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，PO⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB
PO?平面PAB，可得PO⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，所以PO⊥AD，AD⊥AB，PO∩AB=0
可得AD⊥平面PAB
PB?平面PAB
所以 AD⊥PB
（Ⅱ）过O作AD的平行线为x轴，OB、OP分别为y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，-1，0）
D（2，-1，0），B（0，1，0），C（2，1，0）由已知左视图知PO=2，故P（0，0，2）
=（2，-1，-2），
=(0，2，0)cos＜
，
＞=
=-
（Ⅲ）平面PABD 法向量
=（1，0，0）设平面PCD的法向量
=（x，y，z）
可得x=y
取
=(
，0，
)
cos＜
，
＞=
=
即所求二面角的大小为
PO?平面PAB，可得PO⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，所以PO⊥AD，AD⊥AB，PO∩AB=0
可得AD⊥平面PAB
PB?平面PAB
所以 AD⊥PB
（Ⅱ）过O作AD的平行线为x轴，OB、OP分别为y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，-1，0）
D（2，-1，0），B（0，1，0），C（2，1，0）由已知左视图知PO=2，故P（0，0，2）
| PD |
| AB |
| PD |
| AB |
| ||||
|
|
| 1 |
| 3 |
（Ⅲ）平面PABD 法向量
| n |
| m |
|
|
取
| m |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
cos＜
| n |
| m |
| ||||
|
|
| ||
| 2 |
即所求二面角的大小为
| π |
| 4 |
点评：本题主要考查三视图、直线与直线直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想像能力，推理论证能力，以及运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．
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