题目内容

已知sin（π-α）= $数学公式$ ，α∈（0， $数学公式$ ）．
（1）求sin2α-cos² $数学公式$ 的值；
（2）求函数f（x）= $数学公式$ cosαsin2x- $数学公式$ cos2x的单调递增区间．

解：∵sin（π-α）= $\text{[math]}$ ，∴sinα= $\text{[math]}$ ．
又∵α∈（0， $\text{[math]}$ ），∴cosα= $\text{[math]}$ ．
（1）sin2α-cos² $\text{[math]}$
=2sinαcosα- $\text{[math]}$
=2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）f（x）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$ cos2x
= $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ）．
令2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，
得kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ π，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ π]，k∈Z．
分析：通过条件求出sinα= $\text{[math]}$ ，cosα= $\text{[math]}$ ，
（1）利用二倍角的正弦，余弦的升角降次，直接求出sin2α-cos² $\text{[math]}$ 的值．
（2）化简函数f（x）= $\text{[math]}$ cosαsin2x- $\text{[math]}$ cos2x为 $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ），借助正弦函数的单调增区间，求出函数f（x）的单调递增区间．
点评：本题是基础题，考查二倍角格式的灵活应用，基本三角函数的单调增区间的求法，考查公式的灵活运用能力，基本知识的掌握程度．