已知P为△ABC所在平面外一点.G1.G2.G3分别是△PAB.△PCB.△PAC的重心.(1)求证:平面G1G2G3∥平面ABC,(2)求S△∶S△ABC. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知P为△ABC所在平面外一点，G₁、G₂、G₃分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.
（1）求证：平面G₁G₂G₃∥平面ABC；
（2）求S_△∶S_△ABC.

（1）证明略（2）S_△∶S_△ABC=1∶9

（1）如图所示，连接PG₁、PG₂、PG₃并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG₁∶PD=2∶3，

PG₂∶PE=2∶3，∴G₁G₂∥DE.
又G₁G₂不在平面ABC内，
∴G₁G₂∥平面ABC.同理G₂G₃∥平面ABC.
又因为G₁G₂∩G₂G₃=G₂，
∴平面G₁G₂G₃∥平面ABC.
（2）由（1）知

，∴G₁G₂=

DE.
又DE=

AC，∴G₁G₂=

AC.
同理G₂G₃=

AB，G₁G₃=

BC.
∴△G₁G₂G₃∽△CAB，其相似比为1∶3，
∴S_△∶S_△ABC=1∶9.

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如图,在三棱柱ABCA′B′C′中,点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点,G为△ABC的重心,从K、H、G、B′中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为(　　)

A.K B.H C.G D.B′

于直线m、n与平面α、β,有下列四个命题:
①若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n;
②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n;
③若m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n;
④若m∥α, n⊥β且α⊥β,则m∥n.
其中真命题的序号是(　　)

如图所示，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，

E是棱CC₁上的点，且CE=

CC₁.
（1）求三棱锥C—BED的体积；
（2）求证：A₁C⊥平面BDE.

如图所示，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是BC、CC₁、C₁D₁、A₁A的中点.求证：
（1）BF∥HD₁；
（2）EG∥平面BB₁D₁D；
（3）平面BDF∥平面B₁D₁H.

下列命题中：
（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；
（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.
其中正确的个数有_____________。

三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=

，PB=

，求PC与AB所成角的余弦值．

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