Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．若AB=AD=a，直线PB与CD所成角为45⁰，
（1）求四棱锥P-ABCD的体积V_P-ABCD；
（2）求二面角P-CD-B的大小．

Answer 1

分析：（1）由AB∥CD，即可得到∠PBA是异面直线PB与CD所成角即∠PBA=45°．可得PA．利用梯形的面积计算公式和四棱锥的体积计算公式即可得出．
（2）利用线面垂直的判定与性质和三垂线定理可得∠PDA是二面角P-CD-B的平面角．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠PBA是PB与CD所成角即∠PBA=45°．
∴在直角△PAB中，PA=AB=a，
又S_梯形ABCD=

(AB+CD)•AD

2

=

(a+2a)•a

2

=

3a2

2

．
∴V_P-ABCD=

1

3

•PA•S_ABCD=

1

3

a•

3

2

a2=

1

2

a3． 
（2）∵AB⊥AD，CD∥AB，
∴CD⊥AD．
又PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD  而PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PD．
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角．
在直角△PDA中，∵PA=AD=a，
∴∠PDA=45°，
即二面角P-CD-B为45⁰．

点评：本题综合考查了异面直线所成角、梯形的性质及其面积计算公式、四棱锥的体积计算公式、线面垂直的判定与性质和三垂线定理、二面角的平面角等基础知识与基本技能方法，属于中档题．