Question

已知f（x）=ax²+x-a，a∈R．
（1）若不等式f（x）＞（a-1）x²+（2a+1）x-3a-1对任意实数x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析：（1）原不等式等价于x²-2ax+2a+1＞0对任意的实数x∈[-1，1]恒成立，设g（x）=x²-2ax+2a+1=（x-a）²-a²+2a+1，只需g_min（x）＞0即可．
（2）不等式f（x）＞1即为ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0转化为二次不等式求解，注意分类讨论．

解答：解：（1）原不等式等价于x²-2ax+2a+1＞0对任意的实数x∈[-1，1]恒成立，
设g（x）=x²-2ax+2a+1=（x-a）²-a²+2a+1
①当a＜-1时，g_min（x）=g（-1）=1+2a+2a+1＞0，得a∈Φ；
②当-1≤a≤1时，gmin(x)=g(a)=-a2+2a+1＞0，得-1-

2

＜a≤1；
③当a＞1时，g_min（x）=g（1）=1-2a+2a+1＞0，得a＞1；
综上a＞1-

2

（3）不等式f（x）＞1即为ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0
因为a＜0，所以(x-1)(x+

a+1

a

)＜0，因为 1-(-

a+1

a

)=

2a+1

a

所以当-

1

2

＜a＜0时，1＜-

a+1

a

，解集为{x|1＜x＜-

a+1

a

}；
当a=-

1

2

时，（x-1）²＜0，解集为?；
当a＜-

1

2

时，1＞-

a+1

a

，解集为{x|-

a+1

a

＜x＜1}

点评：本题考查二次函数性质和一元二次不等式的解法，分类讨论思想，均属基本知识和能力．