题目内容
（2011•宁波模拟）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起如图2的位置，使AD=AE．（I）求证：BC∥平面DAE；
（II）求四棱锥D-AEFB的体积；
（III）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．
分析：（I）因为CF∥DE，FB∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB?面CBF，DE、AE?面DAE，满足面面平行的判定定理，从而面CBF∥面DAE，而BC?面CBF，根据面面平行的性质定理可知BC∥平面DAE；
（II）取AE的中点H，连接DH，先证DH⊥面AEFB，从而得到DH为四棱锥的高，再利用锥体的体积公式求出体积即可；
（III）以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系，根据
=
求出点C的坐标，而
是平面ADE的一个法向量，然后再求出平面BCD的一个法向量为
=(x，y，z)，最后利用公式cos＜
，
＞=
进行求解，即可求出面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．
（II）取AE的中点H，连接DH，先证DH⊥面AEFB，从而得到DH为四棱锥的高，再利用锥体的体积公式求出体积即可；
（III）以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系，根据
| CF |
| 1 |
| 2 |
| DE |
| BA |
| n2 |
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
解答：解：（I）证明：∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，
∴CF∥DE，FB∥AE
又∵BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB?面CBF，DE、AE?面DAE
∴面CBF∥面DAE…（2分）
又BC?面CBF，所以BC∥平面DAE…（3分）
（II）取AE的中点H，连接DH
∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E
∴EF⊥平面DAE又DH?平面DAE，
∴EF⊥DH
∴AE=ED=DA=2，
∴DH⊥AE，DH=
，又AE∩EF=E
∴DH⊥面AEFB…（5分）
所以四棱锥D-AEFB的体积V=
×
×2×2=
…（6分）
（III）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系
则A（-1，0，0），D（0，0，
），B（-1，-2，0），E（1，0，0），F（1，-2，0）
因为
=
，
所以C(
，-2，
)…（8分）
易知
是平面ADE的一个法向量，
=
=(0，2，0)…（9分）
设平面BCD的一个法向量为
=(x，y，z)
由
令x=2，则y=2，z=-2
，∴
=(2，2，-2
)…（10分）
cos＜
，
＞=
=
=
所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为
…（12分）
∴CF∥DE，FB∥AE
又∵BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB?面CBF，DE、AE?面DAE
∴面CBF∥面DAE…（2分）
又BC?面CBF，所以BC∥平面DAE…（3分）
（II）取AE的中点H，连接DH
∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E
∴EF⊥平面DAE又DH?平面DAE，
∴EF⊥DH
∴AE=ED=DA=2，
∴DH⊥AE，DH=
| 3 |
∴DH⊥面AEFB…（5分）
所以四棱锥D-AEFB的体积V=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
（III）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系
则A（-1，0，0），D（0，0，
| 3 |
因为
| CF |
| 1 |
| 2 |
| DE |
所以C(
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
易知
| BA |
| BA |
| n1 |
设平面BCD的一个法向量为
| n2 |
由
|
令x=2，则y=2，z=-2
| 3 |
| n2 |
| 3 |
cos＜
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
2×0+2×2-2
| ||
2×2
|
| ||
| 5 |
所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为
| ||
| 5 |
点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及四棱锥体积的计算和利用空间向量度量二面角的平面角，同时考查了计算能力，属于中档题．
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