题目内容

（2011•宁波模拟）如图，△ABC中，
GA
+
GB
+
GC
=
O
，
CA
=
a
，
CB
=
b
，若
CP
=m
a
，
CQ
=n
b
，CG∩PQ=H，
CG
=2
CH
，则
1
m
+
1
n
=（　　）
分析：由△ABC中，
GA
 +
GB
+
GC
=0，知G是△ABC的重心，由
CA
=
a
，
CB
= 
b
，
CP
=m
a
，
CQ
=n
b
，CG∩PQ=H，
CG
=2
CH
，假设QP∥AB，过G点作EF∥PQ，交AC于E，交BC于F，由重心的性质知m=n=
1
3
，由此能求出
1
m
+
1
n
的值．
解答：解：∵△ABC中，
GA
 +
GB
+
GC
=0，
∴G是△ABC的重心，
∵
CA
=
a
，
CB
= 
b
，
CP
=m
a
，
CQ
=n
b
，CG∩PQ=H，
CG
=2
CH
，
由平行线等分线段成比例定理，可以取特殊值，
假设QP∥AB，过G点作EF∥PQ，交AC于E，交BC于F，
延长CG交AB于D，
∴PQ∥EF∥AB，
∵
CG
=2
CH
，
由重心的性质知：
CH=HG=DG，
∵PQ∥EF∥AB，
∴CQ：QF：FB=CH：HG：GD=CP：PE：EA，
∴m=n=
1
3
，
∴
1
m
+
1
n
=6．
故选C．
点评：本题考查平面向量的综合应用，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是由
GA
 +
GB
+
GC
=0，知G是△ABC的重心．然后取特殊值假设QP∥AB，能够又快又准地得到答案．
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1211
1211
．
（2011•宁波模拟）设
OM
=(1，
1
2
)，
ON
=(0，1)，O为坐标原点，动点P（x，y）满足0≤
OP
•
OM
≤1，0≤
OP
•
ON
≤1，则z=y-x的最大值是（　　）
（2011•宁波模拟）已知：圆x2+y2=1过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B两点记λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．
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