题目内容
【题目】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为 
(e为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
（1）求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．
【答案】
（1）解：由题意，该产品一年的销售量为y＝ 
.
将x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.
故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y＝500e40－x.
所以L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．
（2）解：由(1)得，L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．
①当2≤a≤4时，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，
当且仅当a＝4，x＝35时取等号．
所以L(x)在[35，41]上单调递减．
因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.
②当4<a≤5时，L′(x)>035≤x<31＋a，
L′(x)<031＋a<x≤41.
所以L(x)在[35，31＋a)上单调递增，在[31＋a，41]上单调递减．
因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.
综上所述当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；
当4<a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元．
【解析】（1）由每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，代入可得k值，进而根据利润=单件利润×销售量得到该产品一年的利润L（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式；
（2）由（1）中所得函数的解析式，求导后分析函数的单调性，进而分析出该产品一年的利润L（x）的最大值．
