Question

A．选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O₁与圆O₂内切于点A，其半径分别为r₁与r₂（r₁＞r₂ ）．圆O₁的弦AB交圆O₂于点C （ O₁不在AB上）．求证：AB：AC为定值．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，向量．求向量，使得A²=．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：x+|2x-1|＜3．

Answer 1

【答案】分析：A、如图，利用 EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r₁：2r₂，证出结论．
B、设向量=，由 A²=，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和 y 的值，从而求得向量．
C、把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式
求得所求直线的方程．
D、原不等式可化为，或，分别解出这两个不等式组的解集，
再把解集取并集．
解答：解：A、如图：连接AO₁并延长，交两圆于D，E，则O₂在AD上，根据直径对的圆周角等于90°可得，∠ACE=∠ABD=90°，
∴EC∥DB，∴AB：AC=AD：AE=2r₁：2r₂=r₁：r₂  为定值．

B、A²= =，设向量=，由 A²= 可得
=，∴，解得 x=-1，y=2，
∴向量=．
C、椭圆（φ为参数）的普通方程为+=1，右焦点为（4，0），
直线（t为参数） 即 x-2 y+2=0，斜率等于，故所求的直线方程为
y-0=（x-4），即 x-2 y-4=0．
D、原不等式可化为  ，或，
解得  ≤x＜，或-2＜x＜，故不等式的解集为 {x|-2＜x＜}．
点评：本题考查圆与圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，矩阵的运算法则，绝对值不等式的解法．