题目内容

已知函数f(x)的定义域是(-1,1),对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
,且当x<0时,f(x)>0.
(Ⅰ)验证函数g(x)=ln
1-x
1+x
是否满足上述这些条件;
(Ⅱ)你发现这样的函数f(x)还具有其它什么样的主要性质?试就函数的奇偶性、单调性的结论写出来,并加以证明.
分析:(I)根据函数g(x)的解析式结合对数的运算性质,分别对g(x)+g(y)与g(
x+y
1+xy
)
进行化简,可得g(x)+g(y)=g(
x+y
1+xy
)
成立.再由当x<0时g(x)=ln
1-x
1+x
>0
成立,即可得到函数g(x)=ln
1-x
1+x
满足题意所述条件;
(II)利用赋值法先求出f(0)=0,再证出f(x)+f(-x)=f(0)=0,从而得出函数f(x)在(-1,1)上是奇函数;再根据函数对应法则证出f(x)+f(-y)=f(
x-y
1-xy
)
,进而得到x<y时有f(x)>f(y),因此函数f(x)在(-1,1)上是减函数.
解答:解:(Ⅰ)由题意,得
1-x
1+x
>0
,解之得-1<x<1,得函数的定义域为(-1,1);…(2分)
g(x)+g(y)=ln
1-x
1+x
+ln
1-y
1+y
=ln(
1-x
1+x
1-y
1+y
)
=ln
1-x-y+xy
1+x+y+xy

g(
x+y
1+xy
)
=ln
1-
x+y
1+xy
1+
x+y
1+xy
=ln
1-x-y+xy
1+x+y+xy

g(x)+g(y)=g(
x+y
1+xy
)
成立,…(4分)
又∵当x<0时,1-x>1+x>0,∴
1-x
1+x
>1
,可得g(x)=ln
1-x
1+x
>0
成立
综上所述,可得函数g(x)=ln
1-x
1+x
满足题意所述条件.…(6分)
(II)发现函数f(x)是区间(-1,1)上的奇函数,且是减函数.
证明如下
①将x=0代入条件,得f(0)+f(y)=f(y),所以f(0)=0
再令y=-x代入条件,得f(x)+f(-x)=f(0)=0
∴f(-x)=-f(x),可得函数f(x)在(-1,1)上是奇函数. …(9分)
②以-y代替y,代入条件得f(x)+f(-y)=f(
x-y
1-xy
)

结合函数为奇函数得f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)

当-1<x<y<1时
x-y
1-xy
<0,结合已知条件得f(
x-y
1-xy
)>0

∴由x<y可得f(x)-f(y)>0,得f(x)>f(y),
因此,函数f(x)在(-1,1)上是减函数.…(12分)
点评:本题给出抽象函数,验证函数的特殊性质并讨论了函数的单调性与奇偶性.着重考查了对弈的运算法则、函数的单调性与奇偶性等知识,属于中档题.利用“赋值法”使抽象函数问题具体化,是解决这类问题的关键所在.
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