Question

17．已知幂函数f（x）=（m-1）²x${\;}^{{m}^{2}-4m+2}$在（0，+∞）为增函数，g（x）=2^x-k，当x∈[1，2）时，f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，且A∪B=A，求k的取值范围．

Answer 1

分析 由幂函数的性质列式求出m的值，得到函数f（x）的解析式，从而求得A，再由指数函数的单调性求出B，由A∪B=A，得B⊆A，然后利用两集合端点值间的关系列式求得k的取值范围．

解答 解：由幂函数f（x）=（m-1）²x${\;}^{{m}^{2}-4m+2}$在（0，+∞）为增函数，得$\left\{\begin{array}{l}{（m-1）^{2}=1}\\{{m}^{2}-4m+2＞0}\end{array}\right.$，∴m=0．
∴f（x）=x²，则A=[1，4）．
当x∈[1，2）时，g（x）∈[2-k，4-k），即B=[2-k，4-k），
由A∪B=A，得B⊆A，
∴2-k≥1且4-k≤4，即0≤k≤1．
∴k的取值范围是[0，1]．

点评 本题考查幂函数的性质，考查了并集及其运算，关键是明确两集合端点值间的关系，是基础题．