Question

17．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为$\frac{π}{3}$的扇形，C是扇形弧上的运动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
（1）找出S与α之间的函数关系；
（2）由得出的函数关系，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）先用所给的角表示AB，BC，即可将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型；
（2）根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．

解答 解：（1）如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，$\frac{DA}{OA}$=tan60°=$\sqrt{3}$，所以OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
所以AB=OB-OA=cosα$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosα$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα）sinα=sinαcosα$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²α
=$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α+$\frac{1}{2}$cos2α）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（0＜α＜$\frac{π}{3}$）．
（2）由于0＜α＜$\frac{π}{3}$，所以当2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$时，S_最大=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
因此，当α=$\frac{π}{6}$时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．