Question

13．f（x）=$\frac{{a•{4^x}-{a^{-2}}}}{{{4^x}+1}}$为定义在R上的奇函数
（1）求a；
（2）设$h（x）={log_2}^{\frac{a+x}{a-x}}，g（x）={log_{\sqrt{2}}}^{\frac{1+x}{k}}$，当$x∈[{\frac{1}{3}\;，\;\frac{2}{3}}]$时h（x）≤g（x）恒成立，求实数k的范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质：f（0）=0，可得a=1，再由奇函数的定义，检验即可得到；
（2）运用对数函数的单调性，可得不等式即为$\frac{1+x}{1-x}$≤（$\frac{1+x}{k}$）²，由题意可得k²≤1-x²在$x∈[{\frac{1}{3}\;，\;\frac{2}{3}}]$时恒成立．求得右边二次函数的最小值，即可得到k的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{a•{4^x}-{a^{-2}}}}{{{4^x}+1}}$为定义在R上的奇函数，
即有f（0）=0，即a-a^-2=0，
解得a=1，
则f（x）=$\frac{{4}^{x}-1}{{4}^{x}+1}$，f（-x）=$\frac{{4}^{-x}-1}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{1-{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$=-f（x），
f（x）为奇函数，
故a=1；
（2）h（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$，
h（x）≤g（x）恒成立，
即为log₂$\frac{1+x}{1-x}$≤$lo{g}_{\sqrt{2}}\frac{1+x}{k}$=log₂（$\frac{1+x}{k}$）²，
即有$\frac{1+x}{1-x}$≤（$\frac{1+x}{k}$）²，
由于$x∈[{\frac{1}{3}\;，\;\frac{2}{3}}]$，则k＞0，
即有k²≤1-x²在$x∈[{\frac{1}{3}\;，\;\frac{2}{3}}]$时恒成立．
即有k²≤1-$\frac{4}{9}$=$\frac{5}{9}$，
解得0＜k≤$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
即有k的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$]．

点评 本题考查函数的奇偶性的性质及运用，对数函数的单调性的运用，同时考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，考查运算能力，属于中档题．