题目内容

已知动点P与双曲线的两个焦点F1,F2的距离之和为定值,

且cos∠F1PF2的最小值为-.

(1)求动点P的轨迹方程;(6分)

(2)是否存在直线l与P点轨迹交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线

平分?若存在,求出直线l的斜率k的取值范围,若不存在说明理由.

 

【答案】

解: (1)∵

∴c=.设|PF1|+|PF2|=2a(常数>0),------2分

2>2c=2,∴

由余弦定理有cos∠F1PF2

==-1

∵|PF1||PF2|≤()22

∴当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1||PF2|取得最大值a2.

此时cos∠F1PF2取得最小值-1,----------4分

由题意-1=-,解得a2=4,

∴P点的轨迹方程为------------6分

(2)由(1)知p点轨迹为椭圆,显然直线l的斜率k存在,

设l的直线方程为   ------------7分

  由

设l与椭圆交于不同两点

为方程①的两个不同根

解得:  ②------------9分

 且MN被直线x=-1平分

  

代入②解不等式 ,解得

  ∴存在直线l满足条件,l的斜率k的范围是

------------12分

【解析】略

 

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