Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，D为BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）求异面直线C₁D与直线A₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：几何法
（I）根据直棱柱的几何特征，结合∠B₁A₁C₁=90°，可证得A₁C₁⊥平面A₁B₁BA，进而AD⊥A₁C₁，由勾股定理可得A₁D⊥AD，最后由线面垂直的判定定理得到AD⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）连结AC₁交A₁C于点E，取AD的中点F，连结EF，则EF∥C₁D，∠CEF或它的补角就是异面直线C₁D与直线A₁C所成的角，解△CEF可得答案．
解法二：向量法
（I）以A为原点建立坐标系，求出

A1D

，

AD

，

A1C1

的坐标后，根据向量垂直的充要条件，及线面垂直的判定定理可得AD⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）求出直线C₁D与直线A₁C的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：解法一：几何法
证明：（Ⅰ）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁C₁
又A₁C₁⊥A₁B₁，
∴A₁C₁⊥平面A₁B₁BA
∴AD⊥A₁C₁
∵AD=

2

，A₁D=

2

，AA₁=2，
由ADAD2+A1D2=A

A

2 1

，
得A₁D⊥AD
∵A₁C₁∩A₁D=A₁
∴AD⊥平面A₁DC₁…（7分）
解：（Ⅱ）连结AC₁交A₁C于点E，取AD的中点F，连结EF，则EF∥C₁D
∴∠CEF或它的补角就是异面直线C₁D与直线A₁C所成的角
由（Ⅰ）知，AD⊥A₁C₁，则AD⊥AC，
又AF=

1

2

AD=

2

2

在△CEF中，CE=

1

2

A1C=

5

2

，EF=

1

2

C1D=

3

2

，CF=

AC2+AF2

=

6

2

cos∠CEF=

CE2+EF2-CF2

2CE•EF

=

15

15

则异面直线C₁D与直线A₁C所成角的余弦值为

15

15

…（14分）
解法二：以A为原点建立坐标系，如图，则A₁（0，0，2），C（0，1，0），C₁（0，1，2）
D（1，0，1）…（3分）
（Ⅰ）∵

A1D

=（ 1，0，-1 ），

AD

=（ 1，0，1 ），

A1C1

=（ 0，1，0 ），

A1D

•

AD

=1+0-1=0，
∴A₁D⊥AD …（5分）
又

AD

•

A1C1

=0，∴AD⊥A₁C₁
∵A₁D∩A₁C₁=A₁
∴AD⊥A₁DC₁…（8分）
（Ⅱ）

C1D

=（1，-1，-1），

A1C1

=（0，1，-2）

|C1D|

=

3

，

|A1C|

=

5

，

C1D

•

A1C

=1
cos＜

C1D

，

A1C

＞=

C1D •A1C

|C1D| • |A1C|

=

15

15

故直线C₁D与直线A₁C所成角的余弦值

15

15

…（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，解法一的关键是（1）熟练掌握线线垂直，线面垂直，面面垂直之间的相互转化，（2）将异面直线夹角转化为解三角形问题，解法二的关键是建立空间坐标系，将问题转化为向量夹角问题．