题目内容
16．已知等差数列{an}，首项a1＞0，a2011+a2012＞0，a2011•a2012＜0，则使数列{an}的前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是（ ）| A． | 2011 | B． | 2012 | C． | 4023 | D． | 4022 |
分析 由题意可得a2011＞0，a2012 ＜0，a2011＞|a2012|，判断出数列的单调性和数列中项的正负，可得a1+a4022=a2011+a2012＞0，a1+a4023=a2011+a2013 =2a2012＜0，再由等差数列的前n项和公式可得S4022＞0，S4023＜0，由此得到结论．
解答 解：∵等差数列{an}中，a1＞0，a2011+a2012＞0，a2011•a2012＜0，
∴a2011＞0，a2012 ＜0，a2011＞|a2012|，
即等差数列{an}首项是正数、公差小于零的递减数列，
则前2011项大于零，从2012项起都小于零，
∴a1+a4022=a2011+a2012＞0，a1+a4023=a2011+a2013 =2a2012 ＜0，
∴S4022 =$\frac{4022（{a}_{1}+{a}_{4022}）}{2}$＞0，S4023 =$\frac{4023（{a}_{1}+{a}_{4023}）}{2}$＜0，
则使Sn＞0成立的n的最大值为4022，
故选：D．
点评 本题考查等差数列的性质，等差数列的单调性，以及等差数列的前n项和公式的灵活应用，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{11}{13}$ | B． | 0 | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | -1 |