Question

【题目】已知椭圆系方程： (， )， 是椭圆的焦点， 是椭圆上一点，且.

（1）求的方程；

（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于， 两点，点关于原点的对称点为，求证： 的面积为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】试题分析：

（1）由题意得椭圆的方程为： ，由可得，从而点A的横坐标即为焦点的横坐标，于是，再结合点A在椭圆上可得,，于是得到椭圆的方程．（2）当直线的斜率存在时，设方程为，由直线与椭圆相切可得，然后求得点到直线的距离和弦长，进而求得．当直线斜率不存在时，可得．故可得的面积为定值．

试题解析：

（1）由题意得椭圆的方程为： ，即 ．

∵ ．

∴，

又为椭圆上一点，

∴．

，即，

又，

,

∴椭圆的方程为 ．

（2）解：①当直线斜率存在时，设方程为,

由消去y整理得，

∵直线与椭圆相切，

∴，整理得．

设，则，且，

∴点到直线的距离，

同理由消去y整理得，

设，

则，

，

．

②当直线斜率不存在时，易知

综上可得的面积为定值．