Question

【题目】设定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件时称f(x)为“友谊函数”：

(1)对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；

(2)f(1)＝1；

(3)若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．

则下列判断正确的序号为________．

①f(x)为“友谊函数”，则f(0)＝0；

②函数g(x)＝x在区间[0,1]上是“友谊函数”；

③若f(x)为“友谊函数”，且0≤x1<x2≤1，则f(x1)≤f(x2).

Answer 1

【答案】①②③

【解析】①∵f(x)为“友谊函数”，则取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0，又由f(0)≥0，得f(0)＝0，故①正确；

②g(x)＝x在[0,1]上满足：(1)g(x)≥0；(2)g(1)＝1；若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，

则有g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝(x1＋x2)－(x1＋x2)＝0，

即g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，满足(3)．故g(x)＝x满足条件(1)(2)(3)，∴g(x)＝x为友谊函数，故②正确；

③∵0≤x1<x2≤1，∴0<x2－x1<1，

∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)，故有f(x1)≤f(x2)，故③正确．

故答案为：①②③.