题目内容

3.数列{an}的前n项和记为Sn,且满足Sn=2an-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求和S1•Cn0+S2•Cn1+S3•Cn2+…+Sn+1•Cnn
(3)设有m项的数列{bn}是连续的正整数数列,并且满足:lg2+lg(1+$\frac{1}{{b}_{1}}$)+lg(1+$\frac{1}{{b}_{2}}$)+…+lg(1+$\frac{1}{{b}_{n}}$)=lg(log2an),问数列{bn}最多有几项?并求这些项的和.

分析 (1)由Sn=2an-1可推出an+1=2an.从而写出通项公式;
(2)由(1)知Sn=2n-1,从而化简S1•Cn0+S2•Cn1+S3•Cn2+…+Sn+1•Cnn=2(Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn)-(Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn)=2(1+2)n-2n=2•3n-2n
(3)由已知得2•$\frac{{b}_{1}+1}{{b}_{1}}$•$\frac{{b}_{2}+1}{{b}_{2}}$•…•$\frac{{b}_{m}+1}{{b}_{m}}$=m-1;从而可得$\frac{2({b}_{m}+1)}{{b}_{1}}$=m-1,且bm=b1+(m-1),从而可得m=$\frac{3{b}_{1}}{{b}_{1}-2}$=3+$\frac{6}{{b}_{1}-2}$,从而求最大值.

解答 解:(1)由Sn=2an-1得Sn+1=2an+1-1,
相减得an+1=2an+1-2an,即an+1=2an
又S1=2a1-1,得a1=1≠0,∴数列{an}是以1为首项2为公比的等比数列,
∴an=2n-1
(2)由(1)知Sn=2n-1.
∴S1•Cn0+S2•Cn1+S3•Cn2+…+Sn+1•Cnn
=2(Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn)-(Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn
=2(1+2)n-2n=2•3n-2n
(3)∵lg2+lg(1+$\frac{1}{{b}_{1}}$)+lg(1+$\frac{1}{{b}_{2}}$)+…+lg(1+$\frac{1}{{b}_{n}}$)=lg(log2an),
∴2•$\frac{{b}_{1}+1}{{b}_{1}}$•$\frac{{b}_{2}+1}{{b}_{2}}$•…•$\frac{{b}_{m}+1}{{b}_{m}}$=m-1;
又∵{bn}是连续的正整数数列,
∴上式化为$\frac{2({b}_{m}+1)}{{b}_{1}}$=m-1.
又∵bm=b1+(m-1),
消bm得mb1-3b1-2m=0;
故m=$\frac{3{b}_{1}}{{b}_{1}-2}$=3+$\frac{6}{{b}_{1}-2}$,
由于m∈N*,∴b1>2,∴b1=3时,m的最大值为9.
此时数列的所有项的和为3+4+5+…+11=63.

点评 本题考查了等比数列与等差数列的综合应用及二项式的应用,属于中档题.

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