题目内容
（2012•淄博一模）已知函数f（x）=2cos2
-
sinx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若a为第二象限角，且f(a-
)=
，求
的值．
| x |
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若a为第二象限角，且f(a-
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| cos2a |
| 1+cos2a-sin2a |
分析：（Ⅰ）利用三角函数间的关系将f（x）化为f（x）=1+2cos（x+
），即可求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）依题意可求得cosα=-
，sinα=
，
可化简为
，从而可求得其值．
| π |
| 3 |
（Ⅱ）依题意可求得cosα=-
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| cos2α |
| 1+cos2α-sin2α |
| cosα+sinα |
| 2cosα |
解答：解：（Ⅰ）因为 f（x）=1+cosx-
sinx …（1分）
=1+2cos（x+
），…（2分）
所以函数f（x）的周期为2π，值域为[-1，3]． …（4分）
（Ⅱ）因为 f（a-
）=
，
所以 1+2cosα=
，即cosα=-
． …（5分）
因为
=
…（8分）
=
=
，…（10分）
又因为α为第二象限角，所以 sinα=
． …（11分）
所以原式=
=
=
． …（13分）
| 3 |
=1+2cos（x+
| π |
| 3 |
所以函数f（x）的周期为2π，值域为[-1，3]． …（4分）
（Ⅱ）因为 f（a-
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以 1+2cosα=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
因为
| cos2a |
| 1+cos2a-sin2a |
=
| cos2α-sin2α |
| 2cos2α-2sinαcosα |
=
| (cosα+sinα)(cosα-sinα) |
| 2cosα(cosα-sinα) |
=
| cosα+sinα |
| 2cosα |
又因为α为第二象限角，所以 sinα=
2
| ||
| 3 |
所以原式=
| cosα+sinα |
| 2cosα |
=
-
| ||||||
-
|
=
1-2
| ||
| 2 |
点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查三角函数的周期性及其求法，考查倍角公式，掌握三角函数间的关系是化简求值的关键，属于中档题．
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