已知等比数列{an} 的各项均为正数.且公比不等于1.数列{bn}对任意正整数n.均有:(bn+1-bn+2)•log2a1+(bn+2-bn)•log2a3+(bn-bn+1)•log2a5=0 成立.b1=1.b7=13,(1)求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn,(2)在数列{bn}中依次取出第1项.第2项.第4项.第8项.-.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知等比数列{a_n} 的各项均为正数，且公比不等于1，数列{b_n}对任意正整数n，均有：（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0 成立，b₁=1，b₇=13；
（1）求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）在数列{b_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2^n-1项，…，组成一个新数列 {c_n}，求数列 {c_n}的前n项和T_n；
（3）对（1）（2）中的S_n、T_n，当n≥3时，比较T_n与S_n的大小．

分析：（1）设公比为q（q≠1），a₃=a₁q²，a₅=a₁q⁴ 代入已知条件（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0，化简可b_n+2+b_n=2b_n+1，所以数列{b_n}是等差数列，故可求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）观察通项公式可知采用分组求和，再分别代入等比数列及等差数列的求和公式，即可求得．
（3）先猜后证，计算n=3时，T₃-S₃=2＞0；n=4时，T₄-S₄=10＞0；猜测n≥3（n∈N）时，T_n＞S_n，从而利用数学归纳法进行证明．

解答：解：（1）设公比为q（q≠1），a₃=a₁q²，a₅=a₁q⁴ …（2分）
代入：（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0得
∴[（b_n+1-b_n+2）+（b_n+2-b_n）+（b_n-b_n+1）]log₂a₁+2[（b_n+2-b_n）+2（b_n-b_n+1）]log₂q=0
即（b_n+2+b_n-2b_n+1）log₂q=0
∵q≠1，∴log₂q≠0
∴b_n+2+b_n=2b_n+1，∴数列{b_n}是等差数列 …（4分）
∵d=

b7-b1

7-1

=2
∴b_n=2n-1，S_n=n² …（6分）
（2）∵c_n=2•2^n-1-1=2ⁿ-1
∴T_n=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-n=2ⁿ⁺¹-n-2
即数列{b_n}的前n项和S_n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-n-2…（8分）
（3）T_n-S_n=2ⁿ⁺¹-（n²+n+2）
n=3时，T₃-S₃=2＞0；n=4时，T₄-S₄=10＞0；
猜测n≥3（n∈N）时，T_n＞S_n …（10分）
用数学归纳法证明如下
①n=3时，T₃-S₃=2＞0（已证）
②假设n=k（k≥3）时不等式成立，即2^k+1＞k²+k+2 …（12分）
n=k+1时，2^k+2=2•2^k+1＞2（k²+k+2）
又2（k²+k+2）-[（k+1）²+（k+1）+2]=k²-k＞0
∴2^k+2＞2（k²+k+2）＞（k+1）²+（k+1）+2
∴T_k+1＞S_k+1
即n=k+1时，不等式成立．
由①②知，当当n≥3时，T_n＞S_n …（14分）

点评：本题属于数列综合运用题，考查了由所给的递推关系证明数列的性质，对所给的递推关系进行研究求数列的递推公式以及利用数列的求和公式求其和，难度较大，综合性很强，对答题者探究的意识与探究规律的能力要求较高，是一道能力型题．