Question

7．求函数f（x）=$\sqrt{2{x}^{2}-4}$+$\sqrt{9-3{x}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 设$\sqrt{2{x}^{2}-4}$=m，$\sqrt{9-3{x}^{2}}$=n，其中m≥0，n≥0；从而可得$\frac{{m}^{2}}{2}+\frac{{n}^{2}}{3}$=1，再令m=$\sqrt{2}$cosα，n=$\sqrt{3}$sinα；（0≤α≤$\frac{π}{2}$）；从而利用三角函数求最大值即可．

解答 解：设$\sqrt{2{x}^{2}-4}$=m，$\sqrt{9-3{x}^{2}}$=n，其中m≥0，n≥0；
则3m²+2n²=6，
故$\frac{{m}^{2}}{2}+\frac{{n}^{2}}{3}$=1，
故令m=$\sqrt{2}$cosα，n=$\sqrt{3}$sinα；（0≤α≤$\frac{π}{2}$）；
故m+n=$\sqrt{2}$cosα+$\sqrt{3}$sinα
=$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{10}}{5}$cosα+$\frac{\sqrt{15}}{5}$sinα）；
故当$\frac{\sqrt{10}}{5}$=cosα，$\frac{\sqrt{15}}{5}$=sinα时，
m+n取得最大值$\sqrt{5}$；
故函数f（x）=$\sqrt{2{x}^{2}-4}$+$\sqrt{9-3{x}^{2}}$的最大值为$\sqrt{5}$．

点评 本题综合考查了函数的最值，椭圆的应用及三角函数的应用，考查了换元法的应用，属于中档题．