题目内容

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁，且这个几何体的体积为 $数学公式$ ．
（1）求棱A₁A的长；
（2）若线段AC与BD交于点E，求证：D₁E∥平面A₁C₁B；
（3）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，指出线段C₁P的长，如果不存在，请说明理由．

解：（1）设A₁A=h，∵几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为 $\text{[math]}$ ，
∴VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁= $\text{[math]}$ ，
即S_ABCD×h- $\text{[math]}$ ×S△A₁B₁C₁×h= $\text{[math]}$ ，
即2×2×h- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×2×2×h= $\text{[math]}$ ，解得h=4．
∴A₁A的长为4．
（2）取A₁C₁的中点F，连接D₁F
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁∥DD₁，且AA₁=DD₁，DD₁∥CC₁，DD₁=CC₁，E是AC的中点．
∴AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁
∴四边形AA₁C₁C为平行四边形，又F是A₁C₁的中点，E是AC的中点，
∴AA₁∥EF，且AA₁=EF，
∴DD₁∥EF，且DD₁=EF，
∴四边形EFD₁D为平行四边形
∴D₁F∥DE，且D₁F=DE，
∴D₁F∥EB，且D₁F=EB
∴四边形D₁FBE为平行四边形，
∴D₁E∥BF
∵BF?平面A₁C₁B，D₁E?平面A₁C₁B，
∴D₁E∥平面A₁C₁B
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，
过Q作QP∥CB交BC₁于点P，则A₁P⊥C₁D．
因为A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P?平面A₁PQC₁，∴A₁P⊥C₁D．
∵Rt△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，
∴ $\text{[math]}$ ，∴C₁Q=1
∵△C₁PQ∽△C₁BC，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴在线段BC₁上存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，且线段C₁P的长为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设A₁A=h，已知几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为 $\text{[math]}$ ，利用等体积法VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁，进行求解．
（2）取A₁C₁的中点F，连接D₁F，要证D₁E∥平面A₁C₁B，只需要证明D₁E∥BF，只需证明边形D₁FBE为平行四边形，利用条件可证；
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，过Q作QP∥CB交BC₁于点P，推出A₁P⊥C₁D，证明A₁P⊥C₁D，推出△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，再根据△C₁PQ∽△C₁BC，可求线段C₁P的长．
点评：本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力．