Question

【题目】已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 过右焦点F2且与x轴垂直的直线与双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，若△ABF1为等腰直角三角形，且|AB|=4 ，P（x，y）在双曲线上，M（ ， ），则|PM|+|PF2|的最小值为（ ）
A. ﹣1
B.2
C.2 ﹣2
D.3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），

渐近线方程为y=± x，

令x=c，解得y=± ，

可得|AB|= ，

若△ABF1为等腰直角三角形，且|AB|=4 ，

即有 =4 ，2c=2 ，c2=a2+b2，

解得a=1，b=2，c= ，

即有双曲线的方程为x2﹣ =1，

由题意可知若P在左支上，由双曲线的定义可得|PF2|=2a+|PF1|，

|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+2= +2=7，

当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值7；

若P在右支上，由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a，

|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|﹣2a≥|MF1|﹣2= ﹣2=3，

当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值3．

综上可得，所求最小值为3．

故选：D．