题目内容
设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件；①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（Ⅰ）求f(1)，f(
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（Ⅱ）证明f（x）在R+是减函数；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．
分析：（Ⅰ）求f(1)，f(
)的值；令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（1）．同理求出f（9）后，令x=9，xy=1，代入等式即可求得答案；
（Ⅱ）证明f（x）在R+是减函数；取定义域中的任意的x1，x2，且0＜x1＜x2然后根据关系式f（xy）=f（x）+f（y），证明f（x1）＞f（x2）即可；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围，由（Ⅰ）的结果得：f[x(2-x)]＜f(
)，其中0＜x＜2，再根据单调性，列出不等式．解出取值范围即可．
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（Ⅱ）证明f（x）在R+是减函数；取定义域中的任意的x1，x2，且0＜x1＜x2然后根据关系式f（xy）=f（x）+f（y），证明f（x1）＞f（x2）即可；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围，由（Ⅰ）的结果得：f[x(2-x)]＜f(
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解答：解：（Ⅰ）令x=y=1易得f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f(9)+f(
)=f(1)=0，得f(
)=2.
（Ⅱ）取定义域中的任意的x1，x2
且0＜x1＜x2?
＞1 ?f(
)＜0
∴f(x2)=f(
•x1)=f(
)+f(x1)＜f(x1)
∴f（x）在R+上为减函数．
（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得：f[x(2-x)]＜f(
)，其中0＜x＜2，
由可（Ⅱ）得：
解得x的范围是(1-
，1+
)．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f(9)+f(
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（Ⅱ）取定义域中的任意的x1，x2
且0＜x1＜x2?
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
∴f(x2)=f(
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
∴f（x）在R+上为减函数．
（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得：f[x(2-x)]＜f(
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由可（Ⅱ）得：
|
解得x的范围是(1-
2
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| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：此题主要考查抽象函数的一系列问题．其中涉及到函数单调性的证明，函数值的求解问题．属于综合性问题，涵盖知识点较多，属于中档题目．
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