Question

若对满足的任意实数x，使得不等式2x³+3x²≥6（6x+a）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：由已知得1＜x＜3，设f（x）=2x³+3x²-36x-6a，x∈（1，3），故f‘（x）=6x²+6x-36，由f‘（x）=0得x=2，x=-3舍．由此能求出实数a的取值范围．
解答：解：由已知得1＜x＜3，
设f（x）=2x³+3x²-36x-6a，x∈（1，3）…（4分）
∴f’（x）=6x²+6x-36，
由f’（x）=0得x=2，x=-3舍．
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
当2＜x＜3时，f′（x）＞0…（8分）
∴f（x）在x=2处取得最小值 f（2）=-44-6a≥0，
∴．…（10分）
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．