题目内容
【题目】已知椭圆
的焦点为
，
，离心率为
，点P为椭圆C上一动点，且
的面积最大值为
，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点
，
为椭圆C上的两个动点，当
为多少时，点O到直线MN的距离为定值.
【答案】（1）
；（2）当
＝0时，点O到直线MN的距离为定值
.
【解析】
（1）
的面积最大时，
是短轴端点，由此可得
，再由离心率及
可得
，从而得椭圆方程；
（2）在直线
斜率存在时，设其方程为
，现椭圆方程联立消元（
）后应用韦达定理得
，注意
，一是计算，二是计算原点到直线的距离，两者比较可得结论．
（1）因为在椭圆上，当是短轴端点时，到
轴距离最大，此时
面积最大，所以
，由
，解得
，
所以椭圆方程为．
（2）在
时，设直线方程为，原点到此直线的距离为
，即
，
由
，得
，
，
，
所以
，
，
，
所以当
时，
，
，
为常数．
若
，则
，
，
，
，
，
综上所述，当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.
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