Question

(本题满分13分)
设两个向量e₁、e₂满足|e₁|＝2，|e₂|＝1，e₁、e₂的夹角为60°，若向量2te₁＋7e₂与向量e₁＋te₂的夹角为
钝角，求实数t的取值范围．

Answer 1

t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．

解：由已知，＝|e₁|²＝4，＝|e₂|²＝1，e₁·e₂＝2×1×cos60°＝1.
∴(2te₁＋7e₂)·(e₁＋te₂)＝2t＋(2t²＋7)e₁·e₂＋7t＝2t²＋15t＋7.由2t²＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.
由2te₁＋7e₂＝λ(e₁＋te₂)(λ＜0)，得，∴.由于2te₁＋7e₂与e₁＋te₂的夹角为钝角，
故(2te₁＋7e₂)·(e₁＋te₂)＜0且2te₁＋7e₂≠λ(e₁＋te₂)(λ＜0)，
故t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．