题目内容

P为圆A:上的动点,点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)当点P在第一象限,且时,求点M的坐标.

(1);(2).

解析试题分析:本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问,根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长,利用垂直平分线得到,而,所以,根据椭圆的定义,判断点M的轨迹为椭圆,得到椭圆的标准方程;根据已知条件先得出P点坐标,从而得到直线AP的方程,利用直线与椭圆相交解出M点坐标,过程中应注意方程根的取舍.
试题解析:(1)圆的圆心为,半径等于
由已知,于是
故曲线Γ是以为焦点,以为长轴长的椭圆,
曲线Γ的方程为.       5分
(2)由,得.     8分
于是直线方程为
解得
由于点在线段上,所以点坐标为.       12分
考点:1.椭圆的定义及标准方程;2.直线与椭圆的位置关系.

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