题目内容
5.在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别与边AB、AC所在直线交于不同的两点M、N,若向量$\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM}$,$\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}(m,n∈R)$,则mn的最大值为( )A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | 1 | D. | 2 |
分析 延长AO至A'使AO=A'O,延长A'C交MN 于M',利用O是BC的中点,得到三角形全等和相似,利用相似比和线段的关系列出等式,再把条件代入求出m+n的值,再利用基本不等式求出mn的最大值.
解答 解:延长AO至A′使AO=A′O,延长A′C交MN 于M′,如图所示:
则△OBM≌△OCM′,∴BM=CM′,
∵△NAM∽△NCM′,
∴$\frac{NC}{AN}$=$\frac{CM′}{AM}$,即$\frac{AN-AC}{AN}$=$\frac{AB-AM}{AM}$,
又∵$\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM}$,$\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}(m,n∈R)$,
∴|$\overrightarrow{AB}$|=m|$\overrightarrow{AM}$|,|$\overrightarrow{AC}$|=n|$\overrightarrow{AN}$|,
代入上式得,n-1=1-m,则m+n=2;
∴m+n=2≥2$\sqrt{mn}$,即mn≤1;
∴mn的最大值为1.
故选:C.
点评 本题考查了向量在几何中的应用以及基本不等式的应用问题,也考查了数形结合思想,是中档题目.
练习册系列答案
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