题目内容
若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数h（x）=x2，m（x）=2elnx（e为自然对数的底数），φ（x）=x-2，d（x）=-1．有下列命题：
①f（x）=h（x）-m（x）在
递减；②h（x）和d（x）存在唯一的“隔离直线”；
③h（x）和φ（x）存在“隔离直线”y=kx+b，且b的最大值为
；④函数h（x）和m（x）存在唯一的隔离直线
．其中真命题的个数（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】分析：①求出f′（x）=2x-
，x＞0．由f′（x）=2x-
=0，x＞0，得x=
，列表讨论，能求出f（x）=h（x）-m（x）在
递减；
②h（x）和d（x）存在多条“隔离直线”；
③h（x）和φ（x）存在的“隔离直线”为y=x+b，由h′（x）=2x，知h（x）=x2与“隔离直线”y=x+b平行的切线方程的切点坐标为（
），把（
）代入y=x+b，得b=-
，故h（x）和φ（x）存在“隔离直线”y=kx+b，且b的最大值为
；
④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值．
解答：解：①∵h（x）=x2，m（x）=2elnx，
∴f（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx，x＞0
∴f′（x）=2x-
，x＞0．由f′（x）=2x-
=0，x＞0，得x=
，
∴f（x）=h（x）-m（x）在
递减，故①正确；
②∵h（x）=x2，d（x）=-1．
∴h（x）和d（x）存在多条“隔离直线”，故②不正确；
③∵h（x）=x2，φ（x）=x-2，
∴h（x）和φ（x）存在的“隔离直线”y=kx+b平行于y=x-2，
即h（x）和φ（x）存在的“隔离直线”为y=x+b，
∵h′（x）=2x，∴h（x）=x2与“隔离直线”y=x+b平行的切线方程的切点坐标为（
），
把（
）代入y=x+b，得b=-
，
∴h（x）和φ（x）存在“隔离直线”y=kx+b，且b的最大值为
，故③正确；
④令F（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx（x＞0），
再令F′（x）═2x-
=0，x＞0，得x=
，
从而函数h（x）和m（x）的图象在x=
处有公共点．
因此存在h（x）和m（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则
隔离直线方程为y-e=k（x-
），即y=kx-k
+e．
由h（x）≥kx-k
+e可得 x2-kx+k
-e≥0当x∈R恒成立，
则△=k2-4k
+4e=（k-2
）2≤0，只有k=2
时，等号成立，此时直线方程为：y=2
x-e．
同理证明，由φ（x ）≤kx-k
+e，可得只有k=2
时，等号成立，此时直线方程为：y=2
x-e．
综上可得，函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2
x-e，故④正确．
故选C．
点评：本题以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，属于难题．
，x＞0．由f′（x）=2x-=0，x＞0，得x=，列表讨论，能求出f（x）=h（x）-m（x）在递减；②h（x）和d（x）存在多条“隔离直线”；
③h（x）和φ（x）存在的“隔离直线”为y=x+b，由h′（x）=2x，知h（x）=x2与“隔离直线”y=x+b平行的切线方程的切点坐标为（
），把（）代入y=x+b，得b=-，故h（x）和φ（x）存在“隔离直线”y=kx+b，且b的最大值为；④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值．
解答：解：①∵h（x）=x2，m（x）=2elnx，
∴f（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx，x＞0
∴f′（x）=2x-
，x＞0．由f′（x）=2x-=0，x＞0，得x=，| x | （0， ） |  | （ ） |
| f′（x） | - | 0 | + |
| f（x） | ↓ | 极小值 | ↑ |
递减，故①正确；②∵h（x）=x2，d（x）=-1．
∴h（x）和d（x）存在多条“隔离直线”，故②不正确；
③∵h（x）=x2，φ（x）=x-2，
∴h（x）和φ（x）存在的“隔离直线”y=kx+b平行于y=x-2，
即h（x）和φ（x）存在的“隔离直线”为y=x+b，
∵h′（x）=2x，∴h（x）=x2与“隔离直线”y=x+b平行的切线方程的切点坐标为（
），把（
）代入y=x+b，得b=-，∴h（x）和φ（x）存在“隔离直线”y=kx+b，且b的最大值为
，故③正确；④令F（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx（x＞0），
再令F′（x）═2x-
=0，x＞0，得x=，从而函数h（x）和m（x）的图象在x=
处有公共点．因此存在h（x）和m（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则
隔离直线方程为y-e=k（x-
），即y=kx-k+e．由h（x）≥kx-k
+e可得 x2-kx+k-e≥0当x∈R恒成立，则△=k2-4k
+4e=（k-2）2≤0，只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．同理证明，由φ（x ）≤kx-k
+e，可得只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．综上可得，函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2
x-e，故④正确．故选C．
点评：本题以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，属于难题．
练习册系列答案
快乐小博士巩固与提高系列答案
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和
对其定义域上的任意实数x恒有：
和
，则称直线
为
，则可推知
的“隔离直线”方程为 ▲