题目内容

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点分别是F1、F2，焦距为2c，双曲线上存在一点P，使直线PF1与圆x2+y2=a2相切于PF1的中点M，则双曲线的离心率是$\sqrt{5}$．

分析 设P为双曲线的右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切于PF1的中点M，运用中位线定理和双曲线的定义，可得|PF2|=2a，|PF1|=4a，再由勾股定理和离心率公式计算即可得到．

解答 解：设P为双曲线的右支上一点，
直线PF1与圆x2+y2=a2相切于PF1的中点M，
则OM⊥PF1，|OM|=$\frac{1}{2}$|PF2|=a，
即|PF2|=2a，
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，
即有|PF1|=4a，
又PF1⊥PF2，
由勾股定理可得，
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
即为16a2+4a2=4c2，
即c2=5a2，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查双曲线的定义和离心率的求法，同时考查直线和圆相切的条件和性质，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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9．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（　　）
A．$\sqrt{2}$+2B．$\sqrt{5}$+1C．$\sqrt{3}$+1D．$\sqrt{2}$+1
10．给出下列三个命题：
①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件；
②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；
③“a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．
其中正确命题的序号为③．
7．如图，设抛物线y=-x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点，则点P落在△AOB内的概率是$\frac{3}{4}$．
14．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosβ}\\{y=2+2sinβ}\end{array}\right.$（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求C1和C2的极坐标方程；
（2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），将l1逆时针旋转$\frac{π}{6}$得到l2：θ=α+$\frac{π}{6}$，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取最大值时点P的极坐标．
4．已知方程4x|x|+y|y|=4的曲线为函数y=f（x）的图象，对于函数f（x）有如下结论，其中正确的是②⑤．（写出所有正确结论的序号）
①函数y=f（x）是R上的奇函数
②函数y=f（x）是R上的减函数
③函数f（x）的图象关于直线y=2x对称
④函数y=g（x）和y=f（x）的图象关于原点对称，则函数g（x）的图象是方程4x|x|-y|y|=4表示的曲线
⑤方程f（x）+2x=k恰有两个不等的解，则k∈（0，2$\sqrt{2}$）．
11．已知a＞0，a≠1，a0.6＜a0.4，设m=0.6loga0.6，n=0.4loga0.6，p=0.6loga0.4，则（　　）
A．p＞n＞mB．p＞m＞nC．n＞m＞pD．m＞p＞n
8．已知函数f（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}}$．
（1）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线平行于x轴，求x0的值；
（2）若函数f（x）在区间（$\frac{a-1}{4}$π，$\frac{2a-1}{4}$π）（a＞0）上的增函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，不等式f（x）≤bx恒成立，求实数b的取值范围．
9．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：|AM|•|AN|=2|OP|2．

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