Question

9．已知抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$+2
• B． $\sqrt{5}$+1
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标，将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，则双曲线的渐近线的斜率可求．

解答 解：抛物线的焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0），
∴p=2c，
∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，
将x=c代入双曲线方程得到
A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
将A的坐标代入抛物线方程得到$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$=2pc，即4a⁴+4a²b²-b⁴=0．
解得$\frac{b}{a}=\sqrt{2+2\sqrt{2}}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=2+2\sqrt{2}$，解得：$\frac{c}{a}=\sqrt{2}+1$．
故选：D．

点评 本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系及由双曲线方程求双曲线的离心率，是中档题．