Question

已知抛物线y²=8x的准线与双曲线相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，若双曲线的一条渐近线方程是，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据渐近线方程求出a与b的关系，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为4，进而求得a和b，则双曲线的标准方程可得．
解答：依题意知抛物线的准线x=-2．代入双曲线方程得
y=±．双曲线的一条渐近线方程是，
∴则不妨设A（-2，），F（2，0）
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴=4，解得：a=，b=4
∴c²=a²+b²=2+16=20，
∴双曲线的标准方程是
故选C
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB为等腰直角三角形，属于基础题．