题目内容

设抛物线的焦点为,点,线段的中点在抛物线上. 设动直线与抛物线相切于点,且与抛物线的准线相交于点,以为直径的圆记为圆
(1)求的值;
(2)证明:圆轴必有公共点;
(3)在坐标平面上是否存在定点,使得圆恒过点?若存在,求出的坐标;若不存在,说明理由.

(1)  (2)见解析  (3)存在

解析试题分析:
(1)判断抛物线的焦点位置,得到焦点坐标,利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.
(2)直线与抛物线相切,联立直线与抛物线,判别式为0即可得到k,m之间的关系,可以用k来替代m,得到P点的坐标,抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标,利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标,计算中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系(点线距离小于或者等于半径,即相交或者相切).
(3)由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示),根据抛物线对称性知点轴上,设点坐标为,则M点需满足,即向量内积为0,即可得到M点的坐标,M点的坐标如果为常数(不含k),即存在这样的定点,如若不然,则不存在.
试题解析:
(1)利用抛物线的定义得,故线段的中点的坐标为,代入方程得,解得。                  2分
(2)由(1)得抛物线的方程为,从而抛物线的准线方程为     3分
得方程
由直线与抛物线相切,得                4分
,从而,即,                   5分
,解得,                     6分
的中点的坐标为
圆心轴距离
 
 
所圆与轴总有公共点.           8分
(或 由, ,以线段为直径的方程为:


,所圆与轴总有公共点).           9分
(3)假设平面内存在定点满足条件,由抛物线对称性知点轴上,
设点坐标为,             10分
由(2)知
 。
得,
所以,即           13分
所以平面上存在定点,使得圆恒过点.            14分
证法二:由(2)知的中点的坐标为

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