题目内容
设抛物线
的焦点为
，点
，线段
的中点在抛物线上. 设动直线
与抛物线相切于点
，且与抛物线的准线相交于点
，以
为直径的圆记为圆
．
（1）求
的值；
（2）证明：圆与
轴必有公共点；
（3）在坐标平面上是否存在定点
，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
（1）
（2）见解析 （3）存在 
解析试题分析：
（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.
（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，计算中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系(点线距离小于或者等于半径，即相交或者相切).
（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点
在轴上，设点坐标为
，则M点需满足
，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.
试题解析：
（1）利用抛物线的定义得
，故线段的中点的坐标为
，代入方程得
，解得。 2分
（2）由（1）得抛物线的方程为
，从而抛物线的准线方程为
3分
由
得方程
，
由直线与抛物线相切，得
4分
且
，从而
，即
， 5分
由
，解得
， 6分
∴的中点的坐标为
圆心到轴距离
，
∵
所圆与轴总有公共点. 8分
(或 由, ,以线段为直径的方程为:
令
得 
,所圆与轴总有公共点）. 9分
（3）假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，
设点坐标为， 10分
由（2）知，
∴ 
。
由
得，
所以
，即
或
13分
所以平面上存在定点
，使得圆恒过点. 14分
证法二：由（2）知，，的中点的坐标为
，左、右准线分别为l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分别与直线y＝x相交于A、B两点．
，求椭圆的方程；
·
<7时，求椭圆离心率的取值范围．
的离心率是
，它被直线
截得的弦长是
，求椭圆的方程．
+
=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F1,F2,上顶点A(0,b),△AF1F2为正三角形且周长为6.
,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
·
+
·
=8,求k的值.
的一个顶点
为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形
，试问：（1）这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在，说明理由。（2）这样的等腰直角三角形若存在，最多有几个？
（
＞
＞0）的离心率
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
与椭圆相交于不同的两点
，已知点
的坐标为（ 
（0，
）在线段
的垂直平分线上，且
，求
)，且长轴长与短轴长的比是