题目内容
设抛物线的焦点为
,点
,线段
的中点在抛物线上. 设动直线
与抛物线相切于点
,且与抛物线的准线相交于点
,以
为直径的圆记为圆
.
(1)求的值;
(2)证明:圆与
轴必有公共点;
(3)在坐标平面上是否存在定点,使得圆
恒过点
?若存在,求出
的坐标;若不存在,说明理由.
(1) (2)见解析 (3)存在
解析试题分析:
(1)判断抛物线的焦点位置,得到焦点坐标,利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.
(2)直线与抛物线相切,联立直线与抛物线,判别式为0即可得到k,m之间的关系,可以用k来替代m,得到P点的坐标,抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标,利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标,计算中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系(点线距离小于或者等于半径,即相交或者相切).
(3)由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示),根据抛物线对称性知点在
轴上,设点
坐标为
,则M点需满足
,即向量内积为0,即可得到M点的坐标,M点的坐标如果为常数(不含k),即存在这样的定点,如若不然,则不存在.
试题解析:
(1)利用抛物线的定义得,故线段
的中点的坐标为
,代入方程得
,解得
。 2分
(2)由(1)得抛物线的方程为,从而抛物线的准线方程为
3分
由得方程
,
由直线与抛物线相切,得 4分
且,从而
,即
, 5分
由,解得
, 6分
∴的中点
的坐标为
圆心到
轴距离
,
∵
所圆与轴总有公共点. 8分
(或 由,
,以线段
为直径的方程为:
令得
,所圆与
轴总有公共点). 9分
(3)假设平面内存在定点满足条件,由抛物线对称性知点
在
轴上,
设点坐标为
, 10分
由(2)知,
∴ 。
由得,
所以,即
或
13分
所以平面上存在定点,使得圆
恒过点
. 14分
证法二:由(2)知,
,
的中点
的坐标为
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